[Savannah-hackers] Re: submission of Redac_JO - savannah.nongnu.org

[Mathieu Roy]

Hi,

I'm evaluating the project you submitted for approval in Savannah.

Your registration must be in English.

Also, it is not enough to copy some code to describe your
project. What is the goal of your project?


Please register your project once more with the changes
mentioned above.  

We cannot track projects that have been answered but not approved, so
we must ask you to register the project whenever you change the
registration. Make sure to apply all changes so you need to reregister
only once.

The re-registration URL found in our acknowledgement of your earlier
registration will direct you to the proper location.

Regards,



address@hidden said:

> Un projet a été soumis à savannah.nongnu.org
> Ce courriel a été envoyé à address@hidden, address@hidden
>
> morlier <address@hidden> a décrit le projet comme suit :
> Licence: fdl
> Autre Licence: 
> Paquet: Redac_JO
> Nom système: essai
> Type: non-GNU
>
> Description:
> Gestion de mes fichiers latex.
>
> exemple de code fournit:
>
> \begin{sloppypar}
>
> \chapter{État de l'art}
>
> Le but de ce chapitre est de montrer que la caractérisation d'une
>
> structure peut s'effectuer seulement à une échelle globale
>
> (transformée de Fourier) mais aussi bien à une échelle duale,
>
> globale et locale (transformée en ondelettes) en caractérisant la
>
> structure et ses défauts. On fera en premier lieu le point sur
>
> l'analyse modale des structures et en particulier sur l'extraction
>
> des paramètres modaux.
>
> \section{Analyse modale expérimentale}
>
> Les objectifs de cette analyse sont d'une part d'identifier un
>
> modèle modal (global), de la structure que l'on cherche à
>
> connaître (i.e. estimer les différents paramètres modaux), mais
>
> aussi d'introduire les notions théoriques qui permettront de mieux
>
> comprendre la méthode d'évaluation non destructive que nous avons
>
> développé cette année. Cette dernière sera exposée par la suite,
>
> ainsi que son application à la détection de défauts sur des
>
> structures simples (poutre).
>
> \subsection{Définition}
>
> L'analyse modale permet d'établir un modèle de comportement
>
> vibratoire d'une structure en basses fréquences (jusqu'à quelques
>
> dizaines de Hz). En identifiant par la mesure les trois paramètres
>
> modaux (les fréquences, vecteurs propres et amortissements modaux)
>
> d'un système, on peut construire un modèle analytique qui pourra
>
> être employé en simulation pour connaître le comportement
>
> dynamique de ce système dans d'autre cas pratiques. En hautes et
>
> moyennes fréquences, la densité de modes est souvent trop
>
> importante pour que cette méthode soit applicable. Ces
>
> considérations dépendent de la complexité du problème étudié :
>
> pour un poutre ou une plaque, le domaine d'utilisation de
>
> l'analyse modale est beaucoup plus large que pour une voiture ou
>
> un avion, par exemple.
>
> \newline
>
> \newline L'analyse modale est basée sur
>
> quelques hypothèses [1] :
>
> \newline
>
> Le système est linéaire dans la gamme des amplitudes étudiées.
>
> \newline
>
> Le système, s'il est continu, peut se représenter par un système
>
> discret  où les paramètres sont exprimés pour chaque noeud du
>
> maillage (nombre de degrés de liberté (ddl)  total = nombre de
>
> noeuds * nombre de ddl par noeud).
>
> \newline L'amortissement est
>
> supposé proportionnel à la rigidité.\newline Pour des modes
>
> clairement identifiés, la méthode de comparaison à une somme de
>
> systèmes à 1 ddl est facile à appliquer.\newline
>
> \InsFig{Superposition1}{principe de superposition}{}{0.8}
>
> \newpage
>
> \subsection{Extraction des paramètres modaux}
>
> L'analyse modale expérimentale est la technique la plus fiable
>
> pour extraire les trois paramètres modaux de l'estimation de la
>
> Fonction de Réponse en Fréquences $H(\omega)$(ou FRF). A partir de
>
> la représentation de Bode (Tracé du module et de l'argument en
>
> fonction de la fréquence), on décide du nombre de modes à
>
> attribuer à la structure, et ce dans une bande de fréquences. La
>
> plupart du temps, le nombre de modes correspond au nombre de pics
>
> distincts (résonance d'amplitudes) du tracé du module de
>
> $H(\omega)$. Il correspond aussi au nombre de passages à $\pm90$°
>
> de la phase de $H(\omega)$ ou aux maxima de la partie imaginaire.
>
> \subsubsection{Exemple d'identification modale}
>
> La poutre de la figure ci -dessous est encastrée à une extrémité,
>
> libre à l'autre et excitée au point 1 par un pot vibrant de
>
> pulsation $\omega$ réglable.
>
> \InsFig{Protocole}{Protocole d'identification modale}{}{0.35}
>
> Les mesures des déplacements aux points 1, 2 et 3 sont transmises
>
> à un analyseur qui affiche le graphique de la figure 2.3.
>
> \InsFig{Spectre}{Module et phase des 3 FRF}{}{0.85}
>
> On repère sur la partie du haut, les variations du module de la
>
> FRF $|H|$, en échelle logarithmique (en dB). Les variations de
>
> l'argument (phase) de H sont en bas, pour une certaine gamme de
>
> pulsations de l'excitation d'amplitude F.\newline
>
> On pose: $[X]=[H(\omega)][F]$, où $[H(\omega)]$ est la matrice de
>
> réceptance. On a relevé pour le premier accéléromètre:\newline
>
> $|H_{11}(\omega_1)|=0.423$, à la pulsation du premier mode
>
> $\omega_1=10$ rad/s. Et les deux pulsations à -3 dB autour du
>
> fondamental:
>
> $|H_{11}(\omega_{a1})|=|H_{11}(\omega_{b1})|=\frac{|H_{11}(\omega_{1})|}{\sqrt(2)}$,
>
> $\omega_{a1}=9.85 $ rad/s et $\omega_{b1}=10.05 $ rad/s.\newline
>
> De même pour le deuxième et troisième modes : \newline
>
> $|H_{11}(\omega_2)|=0.655$ à $\omega_2=20 $ rad/s. Et les deux
>
> pulsations à -3 dB autour de ce mode:\newline
>
> $|H_{11}(\omega_{a2})|=|H_{11}(\omega_{b2})|=\frac{|H_{11}(\omega_{2})|}{\sqrt(2)}$,
>
> $\omega_{a2}=19.8 $ rad/s et $\omega_{b2}=20.2 $ rad/s.\newline
>
> \newline
>
> $|H_{11}(\omega_3)|=0.174$ à $\omega_3=32 $ rad/s. Et les deux
>
> pulsations à -3 dB autour de ce mode:\newline
>
> $|H_{11}(\omega_{a3})|=|H_{11}(\omega_{b3})|=\frac{|H_{11}(\omega_{3})|}{\sqrt(2)}$,
>
> $\omega_{a3}=30.8 $ rad/s et $\omega_{b3}=34 $ rad/s.\newline
>
> Pour le deuxième accéléromètre, on relève:\newline
>
> $|H_{21}(\omega_1)|=0.917$, $|H_{21}(\omega_2)|=0.687$,
>
> $|H_{21}(\omega_3)|=0.124$\newline
>
> Pour le troisième accéléromètre, on relève:\newline
>
> $|H_{31}(\omega_1)|=2.317$, $|H_{31}(\omega_2)|=2.126$,
>
> $|H_{31}(\omega_3)|=0.707$\newline
>
> La structure admet 3 degrés de liberté (ddl) entre 0 et 40 rad/s,
>
> identifiés par les 3 pics des modules des FRF, de pulsation
>
> $\omega_1=10$ rad/s, $\omega_2=20$ rad/s, $\omega_3=32$ rad/s. On
>
> vérifie qu'à ces pulsations correspond une phase de FRF de 90° ou
>
> de -90° (modulo 180°).\newline Le facteur d'amortissement est
>
> obtenu par la méthode de la demi puissance (-3 dB) autour de
>
> $\omega=\omega_r$ ($r_{ieme}$ mode).\newline
>
>  Soit,\newline
>
> $\delta_1=\frac{\omega_{b1}-\omega_{a1}}{2\omega_1}=\frac{10.05-9.85}{20}=0.01$\newline
>
> \newline
>
> $\delta_2=\frac{\omega_{b2}-\omega_{a2}}{2\omega_2}=\frac{20.2-19.8}{40}=0.01$\newline
>
> \newline
>
> $\delta_3=\frac{\omega_{b3}-\omega_{3}}{2\omega_3}=\frac{20.2-19.8}{40}=0.01$\newline
>
> \newline
>
> \textit{Remarque}: On peut trouver les mêmes résultats à partir de
>
> $|H_{21}|$ ou $|H_{31}|$, ce qui permet d'obtenir une valeur plus
>
> précise en moyennant les 3 résultats.
>
> \newline
>
> Si l'amortissement est proportionnel, les composantes $P_{jr}$ du
>
> vecteur de forme $\psi_r$ (avec j numéro de capteur et r mode de
>
> vibration)sont réelles et les signes de leur composantes sont
>
> donnés par le signe de la phase correspondante. Si l'amortissement
>
> est non proportionnel, $P_{jr}$ est complexe et nous ne
>
> déterminerons ainsi que son module.\newline
>
> \newline \textit{Rappel}: En effet, en connaissant le nombre de pôles qui
>
> caractérisent la structure, on peut trouver les paramètres modaux
>
> en identifiant le modèle à fraction partielle (MFP):
>
> $$H(\omega)=\sum_{k=1}^{N}
>
> \frac{R_k}{\omega-p_k}+\frac{R_k^*}{\omega-p_k^*}$$\newline Ainsi
>
> on décompose la fonction de transfert (identifiée en minimisant
>
> l'erreur entre la FRF et le quotient de de polynôme en $\omega$)
>
> en éléments simples. Cette décomposition laisse apparaître dans
>
> les pôles p et $p^*$ de la MFP, les 2 premiers paramètres modaux:
>
> $p=-\delta_k-j\omega_k$. En effet, sa partie réelle représente
>
> l'amortissement et sa partie imaginaire nous renseigne sur la
>
> pulsation naturelle amortie du système. Le résidus $R_k$ est un
>
> nombre imaginaire qui rend compte de la force du mode. C'est un
>
> concept mathématique qui n'a pas d'interprétation physique
>
> directe, c'est un indicateur de la déformée modale.\newline
>
> $H(\omega \to \omega_k) \approx \frac{R_k}{\delta_k}$ \newline On
>
> montre que le résidu pour un mode particulier k est proportionnel
>
> au produit du déplacement modal à 1 ddl i par le déplacement modal
>
> à l'excitation j:\newline
>
> $R_{ij}^k=\frac{P_{ik}P_{jk}}{2j\omega_k}$\newline On peut
>
> remarquer que la partie imaginaire de $H(\omega)$ contient deux
>
> informations essentielles, l'amplitude et la direction.\newline
>
> Ainsi, on obtient le vecteur de forme ${\psi_1}$ du premier mode à
>
> partir des relations suivantes :
>
> \newline
>
> $|P_{j1}P_{k1}|=2\delta_1\omega_1^2|H_{jk}(\omega_1)|$\newline
>
> $P_{11}^2=2\delta_1\omega_1^2|H_{11}(\omega_1)|=0.846$, phase
>
> négative, $P_{11}=-0.920$\newline
>
> $|P_{21}P_{11}|=2\delta_1\omega_1^2|H_{21}(\omega_1)|=1.834$,
>
> phase négative,  $P_{21}=-1.993$\newline
>
> $|P_{31}P_{11}|=2\delta_1\omega_1^2|H_{31}(\omega_1)|=4.633$,
>
> phase négative,  $P_{21}=-5. 036$\newline Soit
>
>    $$\psi_1=\left (
>
>    \begin{array}{ccc}
>
>       -0.920 \\
>
>       -1.993 \\
>
>       -5.036 \\
>
>    \end{array}
>
>    \right )
>
> $$\newline
>
> De même, pour le deuxième mode, de
>
> $|P_{j2}P_{k2}|=2\delta_2\omega_2^2|H_{jk}(\omega_2)|$, nous
>
> obtenons: \newline $P_{12}^2=5.24$, phase négative,
>
> $P_{12}=-2.289$\newline $|P_{22}P_{12}|=5.496$, phase négative,
>
> $P_{22}=-2.401$\newline $|P_{32}P_{12}|=17.008$, phase négative,
>
> $P_{32}=7.43$\newline Soit
>
>    $$\psi_2=\left (
>
>    \begin{array}{ccc}
>
>       -2.289 \\
>
>       -2.401 \\
>
>       7.43\\
>
>    \end{array}
>
>    \right )
>
> $$\newline
>
> Et pour le troisième mode, de
>
> $|P_{j3}P_{k3}|=2\delta_3\omega_3^2|H_{jk}(\omega_3)|$, nous
>
> obtenons: \newline $P_{13}^2=17.817$, phase négative,
>
> $P_{13}=-4.221$\newline $|P_{23}P_{13}|=12.697$, phase négative,
>
> $P_{23}=-2.401$\newline $|P_{33}P_{13}|=72.396$, phase négative,
>
> $P_{33}=-17.151$\newline Soit
>
>    $$\psi_3=\left (
>
>    \begin{array}{ccc}
>
>       -4.221 \\
>
>       3 \\
>
>       -17.151\\
>
>    \end{array}
>
>    \right )
>
> $$
>
> \newpage
>
> Ainsi,les déformées modale de la poutre sont:
>
> \InsFig{Deforme}{Déformées modales des pour les 3 premiers
>
> modes}{}{0.8}
>
> \newpage
>
> \section{Les limites de la transformée de Fourier}
>
> La transformée de Fourier analyse le "contenu fréquentiel" d'un
>
> signal [3,9]. Ses nombreuses propriétés la rendent adaptée à
>
> l'étude des opérateurs linéaires stationnaires, notamment la
>
> dérivation.
>
> La transformée de Fourier de f est: $$\int_{-\infty}^{+\infty}
>
> f(t)e^{-j\omega t}dt=\mathcal{F}(f)$$
>
> La transformée de Fourier est une représentation globale du
>
> signal. Mais elle ne permet pas d'analyser son comportement
>
> fréquentiel local, ni sa régularité locale. La condition de
>
> convergence sur la transformée de Fourier n'indique que le pire
>
> ordre de singularité. En pratique, si l'on inverse par exemple
>
> l'ordre des données temporelles (le premier devient le dernier
>
> etc.), on obtiendra exactement le même spectre. En conséquence, il
>
> est devenu indispensable pour certaines applications de
>
> représenter simultanément le signal en temps et en fréquence.
>
> \subsection{Analyse temps-fréquence}
>
> L'analyse spectrale classique est basée sur la transformation de
>
> Fourier, c'est-à-dire sur une décomposition en ondes
>
> monochromatiques éternelles. Cette approche trouve une limitation
>
> naturelle dès lors que les signaux analysés sont non stationnaires
>
> (fréquences évolutives, transitoires, ruptures, modulations, ...),
>
> ce qui est bien souvent le cas dans les applications. Dans de
>
> telles situations, une description plus pertinente consiste à
>
> représenter un signal à l'aide de deux variables conjointes : le
>
> temps et la fréquence. [9]
>
> \InsFig{modulation}{Signal modulé en fréquences
>
> (croissantes)}{}{0.8}
>
> \InsFig{tempsfrequence}{Représentation temps-fréquence du signal
>
> modulé}{}{0.4}
>
> \subsection{La transformée en ondelettes (Wavelet Transform)}
>
> La transformée en ondelettes remplace la sinusoïde de la
>
> transformée de Fourier par une famille de translations et
>
> dilatations d'une même fonction : l'ondelette. Les paramètres de
>
> translation u et de dilatation s sont les deux arguments de la
>
> transformée en ondelettes. C'est une représentation temps-échelle
>
> que l'on peut assimiler à une représentation temps-fréquence
>
> [3,9].
>
> \subsubsection{Principe}
>
> La transformée en ondelettes est définie par :
>
> $$Wf(u,s)=\int_{-\infty}^{+\infty}
>
> f(t)\frac{1}{\sqrt{s}}\psi^*(\frac{t-u}{s})dt$$ Où l'atome de base
>
> $\psi$ est une fonction de moyenne nulle, centrée au voisinage de
>
> 0 et d'énergie finie. La famille de vecteurs est obtenue par
>
> translation et dilatation de l'atome de base:
>
> $\psi_{(u,s)}=\frac{1}{\sqrt{s}}\psi^*(\frac{t-u}{s})$ \newline La
>
> fonction précédente est centrée au voisinage de u, comme l'atome
>
> de Fourier fenêtré. Si le centre de fréquence de $\psi$ est $\eta$
>
> , le centre de fréquence de la fonction dilatée est en
>
> $\frac{\eta}{s}$ . L'écart type en temps est proportionnel à s.
>
> L'écart type en fréquence est inversement proportionnel à s. Voici
>
> un exemple de boîtes de Heisenberg d'atomes d'ondelettes:
>
> \InsFig{heisenberg}{Principe de la représentation en
>
> Ondelettes}{}{0.65}
>
> Aux échelles plus fines, on peut "entasser" plus de boîtes de
>
> Heisenberg côte à côte car la résolution temporelle est meilleure.
>
> \subsubsection{Scalogramme}
>
> En notant $\eta$ le centre de fréquence de l'ondelette
>
> élémentaire, le centre de fréquence d'une ondelette dilatée est
>
> $\frac{\eta}{s}$. Le scalogramme d'un signal est défini par
>
> :\newline
>
> $$P_Wf(u,\xi)=|Wf(u,s)|^2=|Wf(u,\frac{\eta}{\xi})|^2$$
>
> En ce qui concerne la transformée en ondelette continue, une
>
> ondelette est une fonction d'énergie finie et de moyenne nulle.
>
> Outre sa boîte de Heisenberg, la propriété la plus d'importante
>
> d'une ondelette est le nombre de ses moments nuls:
>
> $$\int_{-\infty}^{+\infty} \psi(t)dt=0$$ pour $0\leq k \leq n$
>
> La nullité des moments d'une ondelette permet d'analyser la
>
> régularité locale d'un signal.
>
> \subsubsection{Exemple d'ondelette mère : Morlet}
>
> Certaines applications ont de meilleurs résultats avec une
>
> ondelette mère qu'avec une autre. Par exemple pour la détection de
>
> discontinuités, l'ondelette appelée " chapeau mexicain " a de
>
> meilleurs résultats. L'ondelette de Morlet (gaussienne modulée)
>
> est aussi bien utilisée pour l'analyse de parole que pour
>
> l'analyse de signaux sismiques. Les deux conviennent parfaitement
>
> pour des signaux très amortis. Ce sont des ondelettes complexes
>
> (l'information de phase est conservée).
>
> On définit l'ondelette de Morlet  par :
>
> $\psi(t)=e^{j\omega_ot}e^{\frac{-t^2}{2}}$ de transformée de
>
> Fourier $
>
> \Psi(\omega)=\sqrt(2)e^{\frac{-(\omega-\omega_0)^2}{2}}$.\newline
>
> L'ondelette fille est:
>
> $\psi_{(u,s)}=\frac{1}{\sqrt{s}}\psi^*(\frac{t-u}{s})=\frac{1}{\sqrt{s}}e^{j\omega_o(\frac{t-u}{s})}e^{0.5(\frac{t-u}{s})^2}$
>
>  \InsFig{Morlet1}{partie réelle et partie
>
> imaginaire de l'ondelette de Morlet (signal temporel)}{}{0.6} Elle
>
> n'a pas de moyenne nulle (sur la transformée de Fourier de
>
> l'ondelette, il y a une composante DC avec une valeur de 10-6,
>
> $\omega_o=5.486$ rad/s. On utilise couramment une valeur entre 5
>
> et 6 [9]. Cette ondelette est donc admissible pour de très petites
>
> valeurs de DC.\newline  \InsFig{Morlet2}{domaine fréquentiel de
>
> l'ondelette de Morlet}{}{0.4} Par exemple: $x(t)=\sin(40\pi
>
> t)e^{-100\pi(t-0.2)^2}+[\sin(40\pi t)+2\sin(160\pi t)e^{-50\pi
>
> (t-0.5)^2}+2\sin(160\pi t)e^{-100\pi(t-0.8)^2}]$, obtenu avec 2048
>
> échantillons de la gamme [0;2]. \InsFig{scalomorlet}{Scalogramme
>
> de x(t) calculé avec une ondelette de Morlet}{}{0.9}
>
> La relation entre le paramètre d'échelle et la fréquence est
>
> donnée par:\newline
>
> $$f_x=\frac{f_0f_e}{sf_w}$$ \newline Avec s l'échelle, $f_x$ la
>
> fréquence d'analyse, $f_e$ la fréquence d'échantillonnage du
>
> signal et $f_w$ la fréquence d'échantillonnage de l'ondelette
>
> [5,6].
>
> \newpage
>
> \subsection{Analyse de régularité}
>
> L'analyse de Fourier permet de caractériser la régularité globale
>
> d'une fonction [3]. La transformée en ondelettes permet d'analyser
>
> la régularité ponctuelle d'une fonction. \InsFig{regularite}{En
>
> haut le signal et en bas le module de sa transformée en ondelettes
>
> }{}{0.6} La transformée en ondelettes est calculée avec la dérivée
>
> d'une gaussienne. Les échelles les plus fines sont en haut. Les
>
> coefficients nuls correspondent à du gris moyen. Les parties
>
> régulières sont donc en gris moyen. On peut remarquer la trace
>
> conique des singularités isolées.
>
> \subsection{Détection de singularités}
>
> Les maxima du module de la transformée en ondelettes sont liés aux
>
> singularités du signal. Plus précisément, le théorème de Hwang et
>
> Mallat [3] montre qu'il ne peut y avoir de singularité sans
>
> maximum local de la transformée en ondelettes dans les échelles
>
> fines. Ce théorème indique la présence d'un maximum dans les
>
> échelles fines en cas de singularité. En général, on détecte une
>
> suite de modules maximaux convergeant vers la singularité. Voici
>
> les modules maximaux de l'exemple précédent:
>
> \InsFig{singularite}{Mise en évidence des lignes de maxima (en
>
> jaune)}{}{0.6} Les maxima sont en jaune (gris clair sur un
>
> moniteur en niveau de gris). Comme log2(s) est
>
>>=0 du fait de la discrétisation, on se limite à $log_2(s)\geq 1$
>
> sur les ondelettes pour rester dans le cadre de l'approximation
>
> continue. Le taux de décroissance des maxima le long des courbes
>
> indique l'ordre des singularités isolées (c'est une conséquence
>
> des théorèmes précédents étendus à l'intervalle):
>
> $$\log_2|Wf(u,s)|\leq \log_2 A+(\alpha+\frac{1}{2})\log_2 s$$
>
> Graphiquement, on trace les modules maximaux en fonction de
>
> l'échelle dans un diagramme log-log, et la pente donne l'ordre de
>
> singularité estimé. Les courbes de la figure 2.13 sont
>
> représentées pour deux singularités: en trait plein, pour la
>
> singularité en t=14, et en pointillés pour la singularité en
>
> t=108. Les échelles fines sont à gauche.
>
> \InsFig{exposant}{l'exposant de Lipschitz $\alpha$ est la pente
>
> }{}{0.35} Les maxima sont en jaune (gris clair sur un moniteur en
>
> niveau de gris) Pour t=14, la pente vaut 1/2, et donc la fonction
>
> y est Lipschitz 0, c'est-à-dire une discontinuité. En t=108, on a
>
> à peu près une pente de 1, et donc la fonction y est Lipschitz
>
> 1/2.
>
> \newpage
>
> \end{sloppypar}
>
> Dépendances logicielles:
>
> Autres Commentaires:
>
> _______________________________________________
>   Message sent via/by Savannah
>   http://savannah.gnu.org/
>
> _______________________________________________
> Savannah-hackers mailing list
> address@hidden
> http://mail.gnu.org/mailman/listinfo/savannah-hackers

-- 
Mathieu Roy

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